6.2 线性微分方程组

定义 一般地，形如 $$\pmb{Y'} = A\pmb{Y}$$ 的$n \times n$一阶方程组的解构成所有连续向量值函数的向量空间的一个子空间，此外，如果我们要求$\pmb{Y}(t)$在$t = 0$时取预先给定的值$\pmb{Y_0}$，则一个经典的微分方程定理保证了这个问题将有唯一解，形如 $$\pmb{Y'} = A\pmb{Y}，\; \pmb{Y}(0) = \pmb{Y_0}$$ 的问题称为初值问题(initial value problem). 其中$y_i = f_i(t)$为一个$C^1[a, b]$中的函数.

6.2.1 复特征值

令$A$为一$n\times n$实矩阵，它有一个复特征值$\lambda = a + bi$，并令$\pmb{x}$为属于$\lambda$的一个特征向量，向量$\pmb{x}$可以分解为实部和虚部 $$\pmb{x} = \mathrm{Re}\pmb{x} + i \mathrm{Im}\pmb{x}$$ 则 $$\overline{\pmb{x}} = \mathrm{Re}\pmb{x} - i\mathrm{Im}\pmb{x}$$

6.2.2 高阶方程组

一般地，如果有形如 $$\pmb{Y}^{(m)} = A_1\pmb{Y} + A_2\pmb{Y}' + \dotsb + A_m\pmb{Y}^{(m-1)}$$ 的$m$阶方程组，其中$A_i$为一$n\times n$矩阵，可令 $$\pmb{Y}_1 = \pmb{Y},\; \pmb{Y}_2 = \pmb{Y}_1^{'},\dotsb,\pmb{Y}_m = \pmb{Y}_{m-1}^{'}$$ 另外，若要求当$t = 0$时，$\pmb{Y}, \pmb{Y}', \dotsb, \pmb{Y}^{(m-1)}$取给定的值，则此问题将仅有一个解.

若方程组仅形如$\pmb{Y}^{(m)} = A\pmb{Y}$，则通常无需引入新的变量，在这种情形，只需要计算$A$的特征值的$m$次方根，若$\lambda$为$A$的一个特征值，$\pmb{x}$属于$\lambda$的一个特征向量，$\sigma$为$\lambda$的一个$m$次方根，且$\pmb{Y} = e^{\sigma t}\pmb{x}$，则 $$\pmb{Y}^{(m)} = \sigma^me^{\sigma t}\pmb{x} = \lambda\pmb{Y}$$ 且 $$A\pmb{Y} = e^{\sigma t}A\pmb{x} = \lambda e^{\sigma t}\pmb{x} = \lambda\pmb{Y}$$ 因此，$\pmb{Y} = e^{\sigma t}\pmb{x}$为方程组的一个解