1.3 矩阵算术

我们一般用$\overrightarrow{x}$表示行向量(row vector)，用加粗的小字母$\boldsymbol{x}$表示列向量(column vector). 我们一般将列向量简称为向量.

相等

定义 若两个$m \times n$矩阵$A$和$B$对任一$i$和$j$均满足$a_{ij} = b_{ij}$，则称它们相等(equal).

标量乘法

定义 若$A$为$m \times n$的矩阵，且$\alpha$为一标量，则$\alpha A$为一个$m \times n$的矩阵，其$(i, j)$元素为$\alpha a_{ij}$.

矩阵加法

定义 设$A = (a_{ij})$及$B = (b_{ij})$都是$m \times n$的矩阵，则它们的和(sum)$A + B$也为一个$m \times n$的矩阵，对每一个有序对$(i, j)$，它的(i, j)的元素为$a_{ij} + b_{ij}$.

线性组合

定义 若$\boldsymbol{a_1, a_2, \dotsc, a_n}$，为$R^m$中的向量，且$c_1, c_2, \dotsc, c_n$为标题，则和式 $$c_1\boldsymbol{a_1} + c_2\boldsymbol{a_2} + \dotsb + c_n\boldsymbol{a_n}$$ 称为向量$\boldsymbol{a_1, a_2, \dotsc, a_n}$的一个线性组合(linear combination).

矩阵乘法

定义 若$A = (a_{ij})$为一个$m \times n$的矩阵，且$B = (b_{ij})$为一个$n \times r$的矩阵，则乘积$AB = C = (c_{ij})$为一个$m \times r$的矩阵，它的元素定义为 $$c_{ij} = \boldsymbol{\overrightarrow{a_i}b_j} = \sum_{k = 1}^n a_{ik}b_{kj}$$