2.3 其它

2.3.1 伴随矩阵

我们定义 $$adj A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \dotsc & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dotsc & A_{n2} \\ \vdots & & & \\ A_{1n} & A_{2n} & \dotsc & A_{nn} \end{bmatrix}$$ 为矩阵$A$的伴随(adjoint). 其中原矩阵元素用它们的余子式替换.

求逆

若$A$为非奇异的，则$det(A) \neq 0$，因此 $$A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj A, 其中det(A) \neq 0$$

2.3.2 克拉默法则

定理 令$A$为一$n\times n$非奇异矩阵，并令$\boldsymbol{b} \in R^n$. 令$A_i$为将矩阵$A$中的第$i$列用$\boldsymbol{b}$替换得到的矩阵，若$\boldsymbol{x}$为方程组$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$的惟一解，则 $$x_i = \frac{det(A_i)}{det(A)}, \quad i = 1, 2, \dotsc, n$$

2.3.3 向量长度

若$\boldsymbol{x}$是$R^2$或$R^3$中的一个向量，则$\boldsymbol{x}$的长度记为$\|\boldsymbol{x}\|$ $$\|\boldsymbol{x}\| = (\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x})^{\frac{1}{2}}$$