1.6 分块矩阵

1.6.1 分块乘法

一般地，假设矩阵各个分块是恰当的，则分块乘法如下，设 $$A = \begin{bmatrix} A_{11} & \dotsc & A_{1t} \\ \vdots & & \\ A_{s1} & \dotsc & A_{st} \end{bmatrix} \quad 及 \quad B = \begin{bmatrix} B_{11} & \dotsc & B_{qr} \\ \vdots & & \\ B_{t1} & \dotsc & B_{tr} \end{bmatrix}$$ 则 $$AB = \begin{bmatrix} C_{11} & \dotsc & C_{1r} \\ \vdots & & \\ C_{s1} & \dotsc & C_{sr} \end{bmatrix}$$

其中 $$C_{ij} = \sum_{k = 1}^tA_{ik}B_{kj}$$

1.6.2 外积展开

我们称 $$\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{y} = (x_1, x_2, \dotsc, x_n) \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} = x_1y_1 + x_2y_2 + \dotsb + x_ny_n$$ 这种乘积称为标量积(scalar product)或内积(inner product).

我们将 $$\boldsymbol{xy}^T = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} (y_1, y_2, \dotsc, y_n) = \begin{bmatrix} x_1y_1 & x_2y_2 & \dotsc & x_1y_n \\ x_2y_1 & x_2y_2 & \dotsc & x_2y_n \\ \vdots & & & \\ x_ny_1 & x_ny_2 & \dotsc & x_ny_n \end{bmatrix}$$

这种乘积称为外积(outer product).

我们可以推广到矩阵， $$XY^T = \boldsymbol{(x_1, x_2, \dotsc, x_n)} \begin{bmatrix} \boldsymbol{ y_1^T \\ y_2^T \\ \vdots \\ y_n^T } \end{bmatrix} = \boldsymbol{x_1y_1^T + x_2y_2^T + \dotsb + x_ny_n^T}$$ 称为外积展开(outer product expansion).