2.1 矩阵的行列式

定义 令$A=(a_{ij})$为一$n\times n$矩阵，并用$M_{ij}$表示删除$A$中包含$a_{ij}$的行和列得到的$(n-1)\times (n-1)$矩阵，矩阵$M_{ij}$的行列式称为$a_{ij}$的子式(minor). 定义$a_{ij}$的余子式(cofactor)$A_{ij}$为 $$A_{ij} = (-1)^{i+j}det(M_{ij})$$ 例如$det(A) = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12}$，则称为$det(A)$按$A$的第一行的余子式展开(confactor expansion).

定义 一个$n\times n$矩阵$A$的行列式(determinant)，记为$det(A)$，是一个与矩阵$A$对应的标量，它可如下递归定义 $$det(A) = \begin{cases} a_{11} & \quad 当 n = 1 时 \\ a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + \dotsb + a_{1n}A_{1n} & \quad 当 n \gt 1 时 \\ \end{cases}$$ 其中 $$A_{ij} = (-1)^{1+j}det(M_{1j}), j = 1, \dotsc, n$$ 定理 设$A$为一$n \times n$矩阵，其中$n \geq 2$，则$det(A)$可表示为$A$的任何行或列的余子式展开，即 $$\begin{align} det(A) = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \dotsb + a_{in}A_{in} \\ = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \dotsb + a_{nj}A_{nj} \\ \end{align}$$ 其中$i=1, \dotsc, n, 且j = 1, \dotsc, n$.

定理 设$A$为一$n\times n$矩阵，则$det(A^T) = det(A)$.

定理 设$A$为一$n\times n$三角形矩阵，则$A$的行列式等于$A$的对角元素的乘积.

定理 设$A$为一$n\times n$矩阵

• 若$A$有一行或一列包含的元素全为零，则$det(A) = 0$
• 若$A$有两行或者两列相等，则$det(A) = 0$