3.5 基变换

定义 令$V$为一向量空间，且令$E = [\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}]$为$V$的一组有序基. 若$\boldsymbol{v}$为$V$中的一元素，则$\boldsymbol{v}$可写成为 $$\boldsymbol{v} = c_1\boldsymbol{v_1} + c_2\boldsymbol{v_2} + \dotsb + c_n\boldsymbol{v_n}$$ 其中$c_1, c_2, \dotsc, c_n$为标量. 因此可以将每一个向量$\boldsymbol{v}$惟一对应于$R^n$中的一个向量$\boldsymbol{c} = (c_1, c_2, \dotsc, c_n)^T$. 采用这种方式定义的向量$\boldsymbol{c}$称为$\boldsymbol{v}$相应于有序基$E$的坐标向量(coordinate vector)，并记为$[\boldsymbol{v}]_E$. $c_i$称为$\boldsymbol{v}$相对于$E$的坐标(coordinate).

我们给定$U = [\boldsymbol{u_1, u_2}]$， 求对应于$[\boldsymbol{e_1, e_2}]$的坐标向量$\boldsymbol{x}$，我们只需要用$U$乘以$\boldsymbol{c}$: $$\boldsymbol{x} = U\boldsymbol{c}$$ 矩阵$U$称为从有序基$[\boldsymbol{u_1, u_2}]$到基$[\boldsymbol{e_1, e_2}]$的转移矩阵(transition matrix).

一般的，从$[\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}]$到$[\boldsymbol{u_1, u_2, \dotsc, u_n}]$的转移矩阵 $$S = U^{-1}V$$