3.3 线性无关

定义 如果向量空间$V$中的向量$\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}$满足 $$c_1\boldsymbol{v_1} + c_2\boldsymbol{v_2} + \dotsb + c_n\boldsymbol{v_n} = \boldsymbol{0}$$ 就可以推出所有标量$c_1, \dotsb, c_n$必为0，则称它们为线性无关的(linearly independent).

定义 如果存在不全为零的标量$c_1, \dotsb, c_n$, 使得向量空间$V$中的向量$\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}$满足 $$c_1\boldsymbol{v_1} + c_2\boldsymbol{v_2} + \dotsb + c_n\boldsymbol{v_n} = \boldsymbol{0}$$ 则称它们为线性相关的(linearly dependent).

定理 令$\boldsymbol{x_1, x_2, \dotsc, x_n}$为$R^n$中的$n$个向量，并令$X = (x_1, x_2, \dotsc, x_n)$. 向量$\boldsymbol{x_1, x_2, \dotsc, x_n}$线性相关的充要条件是$X$为奇异的.

定理 令$\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}$为向量空间$V$中的向量，当且仅当$\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}$线性无关时，$Span(\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n})$中的任一向量$\boldsymbol{v}$才可惟一地用向量$\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}$的线性组合表示.

3.3.1 函数的向量空间

向量空间$P_n$

为判断$P_n$中的多项式$p_1, p_2, \dotsc, p_k$是否线性无关，我们令 $$c_1p_1 + c_2p_2 + \dotsb + c_kp_k = z$$ 其中$z$表示零多项式 $$z(x) = 0x^{n-1} + 0x^{n-2} + \dotsb + 0x + 0$$ 若左则的多项式可写为$a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dotsb + a_{n-1}x + a_n$的形式，则要使它线性无关，则$a_i$必全为0. 而且每一个$a_i$均为$c_j$的线性组合. 这个线性组合有平凡解，则多项式是线性无关的；否则，它们是线性相关的.

向量空间$C^{(n-1)}[a, b]$

定义 令$f_1, f_2, \dotsc, f_n$为$C^{(n-1)}[a, b]$的函数，定义$[a, b]$上的函数$W[f_1, f_2, \dotsc, f_n](x)$为 $$W[f_1, f_2, \dotsc, f_n](x) = \left|\begin{array}{cccc} f_1(x) & f_2(x) & \dotsc & f_n(x) \\ f_1'(x) & f_2'(x) & \dotsc & f_n'(x) \\ \vdots & & & \\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \dotsc & f_n^{(n-1)}(x) \end{array}\right|$$

函数$W[f_1, f_2, \dotsc, f_n](x)$称为$f_1, f_2, \dotsc, f_n$的郎斯基行列式.

定理 令$f_1, f_2, \dotsc, f_n$为$C^{(n-1)}[a, b]$的函数. 若在$[a, b]$中存在一个点$x_0$，使得$W[f_1, f_2, \dotsc, f_n](x_0) \neq 0$，则$f_1, f_2, \dotsc, f_n$线性无关.