1.1 线性方程组

1.1.1 $m \times n$ 的线性方程组

形如 $$a_1x_1 + a_2x_2 + \dotsb + a_nx_n = b$$ 的方程称为含有$n$个未知量的线性方程. 含有m个线性方程称为$m \times n$的线性方程组.

若有序$n$元组$(x_1, x_2, \dotsc, x_n)$满足方程组中的所有方程，称之为方程组的解. 线性方程组的所有解的集合称为方程组的解集. 如果解集为空则称方程组是不相容的(inconsistent)，如果至少存在一个解，则称之为相容的(consistent).

1.1.2 等价方程组

定义 若两个含有相同变量的方程组具有相同的解集，则称它们是等价的(equivalent).

有三种运算可以得到一个等价的方程组：

• 交换任意两个方程的顺序
• 任一方程两边同乘一个非零的实数
• 任一方程的倍数加到另一方程上

1.1.3 $n\times n$方程组

定义 若方程组中，第$k$个方程的前$k-1$个变量的系数均为零，且$x_k(k=1, \dotsc, n)$的系数不为零，则称该方程组为严格三解形的(strict triangular form).

例如
$$\begin{align} 3x_1 + 2x_2 + x_3 =1 \\ x_2 - x_3 = 2 \\ 2x_3 = 4 \\ \end{align}$$

1.1.4 系数矩阵

我们可以将$m \times n$的方程组简化为一个$m \times n$的矩阵. 称之为系数矩阵(coefficient matrix).

如果将系数矩阵右侧添加一列方程组的右端项，可得到一个新的矩阵，称之为增广矩阵(augmented matrix).

例如
$$\left[ \begin{array}{ccc|c} a_{11} & \dotsc & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{m1} & \dotsc & a_{mn} & b_m \end{array} \right] \tag{7}$$

1.1.5 初等行运算

• 交换两行
• 以非零实数乘以某行
• 将某行替换为它与其他行倍数的和