3.1 定义

3.1.1 欧几里得向量空间

也许最基本的向量空间就是欧几里得向量空间$R^n$，$n = 1, 2, \dotsb$.

一般的，$R^n$中的标量乘法和加法定义为 $$\alpha\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} \alpha x_1 \\ \alpha x_2 \\ \vdots \\ \alpha x_n \end{bmatrix} \quad 和 \quad \boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} = \begin{bmatrix} x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ \vdots \\ x_n + y_n \end{bmatrix}$$

3.1.2 向量空间$R^{m\times n}$

一般地，用$R^{m\times n}$表示所有$m \times n$实矩阵的集合. 若$A = (a_{ij})$，且$B = (b_{ij})$，则它们的和$A + B$定义为$m\times n$矩阵$C = (c_{ij})$，其中$c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$. 给定标量$\alpha$，可定义$\alpha A$为一$m\times n$矩阵，它的$(i, j)$元素为$\alpha a_{ij}$.

3.1.3 向量空间的公理

定义 令$V$为一定义了加法和标题乘法运算的集合. 这意味着，对$V$中的每一对元素$\boldsymbol{x}$和$\boldsymbol{y}$，可惟一对就于$V$中的一个元素$\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}$，且对于每一个$V$中的元素$\boldsymbol{x}$和每一个标量$\alpha$，可以惟一对应于$V$中的元素$\alpha\boldsymbol{x}$. 如果集合$V$连同其上的加法和标量剩法运算满足下面的公理，则称为向量空间(vector space).

1. 对$V$中的任何$\boldsymbol{x}$和$\boldsymbol{y}$，$\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} = \boldsymbol{y} + \boldsymbol{x}$
2. 对$V$中的任何$\boldsymbol{x}$，$\boldsymbol{y}$，$\boldsymbol{z}$，$(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) + \boldsymbol{z} = \boldsymbol{x} + (\boldsymbol{y} + \boldsymbol{z})$
3. $V$中存在一个元素$\boldsymbol{0}$，满足对任意的$\boldsymbol{x} \in V$有$\boldsymbol{x} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{x}$
4. 对每一个$\boldsymbol{x} \in V$，存在$V$中的一个元素$-\boldsymbol{x}$，满足$\boldsymbol{x} + (-\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0}$
5. 对任意的标量$\alpha$和$V$中的元素$\boldsymbol{x}$和$\boldsymbol{y}$，有$\alpha(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) = \alpha\boldsymbol{x} + \alpha\boldsymbol{y}$
6. 对任意标量$\alpha$和$\beta$及$\boldsymbol{x} \in V$，有$(\alpha + \beta)\boldsymbol{x} = \alpha\boldsymbol{x} + \beta\boldsymbol{x}$
7. 对任意标量$\alpha$和$\beta$及$\boldsymbol{x} \in V$，有$(\alpha\beta)\boldsymbol{x} = \alpha(\beta\boldsymbol{x})$
8. 对所有的$\boldsymbol{x} \in V$. 有$1 \cdot \boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}$

3.1.4 向量空间$C[a, b]$

用$C[a, b]$表示所有定义在闭区间$[a, b]$上的实值连续函数. 此时，全集为一函数集合. 我们定义$C[a, b]$中两个函数的和$f + g$定义为对所有$[a, b]$中的$x$, $$(f + g)(x) = f(x) + g(x)$$ 新函数$f + g$也是$C[a, b]$的元素，因为两个连续函数的和仍为连续函数. 若$f$为$C[a, b]$中的函数, $\alpha$为一个实数，则$\alpha f$定义为对所有$[a, b]$中的$x$, $$(\alpha f)(x) = \alpha f(x)$$ 而我们定义函数 $$z(x) = 0, \quad 对所有[a, b]中的x$$ 为零向量.

3.1.5 向量空间$P_n$

令$P_n$表示次数小于$n$的所有多项式的集合. 定义$p + q$和$\alpha p$为对所有的实数$x$，有 $$(p + q)(x) = p(x) + q(x)$$ 和 $$(\alpha p)(x) = \alpha p(x)$$ 此时零向量是零多项式， $$z(x) = 0x^{n-1} + 0x^{n-2} + \dotsb + 0x + 0$$

3.1.6 向量空间的其他性质

定理 若$V$为向量空间，且$x$为$V$的任一元素，则

• $0\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$
• $\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} = 0$蕴涵$\boldsymbol{y} = -\boldsymbol{x}$(即$\boldsymbol{x}$的加法逆元是惟一的)
• $(-1)\boldsymbol{x} = -\boldsymbol{x}$