1.4 矩阵代数

1.4.1 代数法则

1. $A + B = B + A$
2. $(A + B) + C = A + (B + C)$
3. $(AB)C = A(BC)$
4. $A(B + C) = AB + AC$
5. $(A + B)C = AC + BC$
6. $(\alpha\beta)A = \alpha(\beta A)$
7. $\alpha(AB) = (\alpha A)B = A(\alpha B)$
8. $(\alpha + \beta)A = \alpha A + \beta A$
9. $\alpha(A + B) = \alpha A + \alpha B$

1.4.2 单位矩阵

定义 $n \times n$的单位矩阵(identity matrix)为矩阵$I = (\delta_{ij})$，其中 $$\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \quad 当 i = j \\ 0 & \quad 当 i \neq j \\ \end{cases}$$

1.4.3 矩阵的逆

定义 若存在一个矩阵$B$使得$AB = BA = I$，则称$n \times n$矩阵$A$为非奇异的(nonsingular)或可逆的(invertible). 矩阵$B$称为$A$的乘法逆元(multiplicative inverse).

1.4.4 转置

• $(A^T)^T = A$
• $(\alpha A)^T = \alpha A^T$
• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(AB)^T = B^TA^T$