6.1 特征值和特征向量

定义 令$A$为一$n\times n$矩阵，如果存在一个非零向量$\pmb{x}$使得$A\pmb{x} = \lambda\pmb{x}$，则称标题$\lambda$为特征值(eigenvalue, characteristic value). 称向量$\pmb{x}$为属于$\lambda$的特征向量(eigenvector, characteristic vector)

定义 我们得到一个变量为$\lambda$的$n$次多项式 $$p(\lambda) = \det{(A - \lambda I)}$$ 这个多项式称为特征多项式(characteristic polynomial)，而$\det{(A - \lambda i)} = 0$称为矩阵$A$的特征方程(characteristic equation

令$A$为一$n\times n$矩阵，且$\lambda$为一标题，下面的命题是等价的

• $\lambda$为$A$的一个特征值
• $(A - \lambda I)\pmb{x} = \pmb{0}$有一个非平凡解
• $N(A - \lambda i) \neq \{\pmb{0}\}$
• $A - \lambda I$为奇异的
• $\det{(A - \lambda I)} = 0$

6.1.1 复特征值

若$A$为一实元素的$n\times n$矩阵，则$A$的特征多项式将有实系数，因此它所有的复根必然为共轭对，于是，若$\lambda = a + bi(b\neq 0)$为$A$的一个特征值，则$\overline{\lambda} = a - bi$必然也是$A$的一个特征值，此处$\overline{\lambda}$用来表示$\lambda$的复共轭，一个类似的符号可以用于矩阵，若$A = (a_{ij})$为一个有复元素的矩阵，则$\overline{A} = (\overline{a_{ij}})$是对$A$的每一个元素取共轭构成的矩阵，我们定义一个实矩阵(real matrix)为满足性质$\overline{A} = A$的矩阵，一般地，若$A$和$B$为有复元素的矩阵，且乘法$AB$可行，则$\overline{AB} = \overline{A}\overline{B}$

不仅仅一个实矩阵的复特征值成对出现，它的特征向量也是如此，实事上，若$\lambda$为一实的$n\times n$矩阵$A$的复特征值，且$\pmb{z}$为属于$\lambda$的一个特征向量，则 $$A\overline{z} = \overline{A}\overline{\pmb{z}} = \overline{A\pmb{z}} = \overline{\lambda\pmb{z}} = \overline{\lambda}\overline{\pmb{z}}$$

6.1.2 特征值的乘积与和

乘积 $$\lambda_1\cdot\lambda_2\dotsm\lambda_n = \det{(A)}$$ 和 $$\sum_{i = 1}^n{\lambda_i} = \sum_{i = 1}^n a_{ii}$$ $A$的对角线的元素的和称为$A$的迹(trace)，记为$tr{(A)}$

6.1.3 相似矩阵

回顾一下，对矩阵$A$和$B$，若存在一个非奇异矩阵$S$，使得$B = S^{-1}AS$，则称矩阵$B$相似(similar)于矩阵$A$.

定理 6.1.1 令$A$和$B$为$n\times n$矩阵，若$B$和$A$相似，则这两个矩阵有相同的特征多项式，且收到应地它们有相同的特征值