3.4 基和维数

定义 当且仅当向量空间$V$中的向量$\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}$满足

• $\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}$线性无关
• $\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}$张成$V$

时，称它们是微量空间$V$的基(basis)。

定理 若$\{\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}\}$为向量空间$V$的一个张集，则$V$中的任何$m$个向量必线性相关，其中$m \gt n$.

推论 若$\{\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}\}$和$\{\boldsymbol{u_1, u_2, \dotsc, u_m}\}$均为向量空间$V$的基，则$n = m$.

定义 令$V$为一向量空间，若$V$的一组基含有$n$个向量，我们称$V$的维数(dimension)为$n$. $V$的子空间$\{\boldsymbol{0}\}$的维数为0. 如果有有限多个向量张成$V$. 则称$V$是有限维的(finite-dimensional). 否则，称$V$是无限维的(infinite-dimensional).

定理 若$V$是维数$n \gt 0$的向量空间，则：

• 任意$n$个线性无关的向量张成$V$
• 任何张成$V$的$n$个向量是线性无关的

定理 若$V$是维数$n \gt 0$的向量空间，则：

• 没有少于$n$个的向量构成的集合可以张成$V$
• 任何少于$n$个线性无关的向量构成的子集可以扩展为$V$的一组基
• 任何多于$n$个向量的张集均可通过删除其中的向量得到$V$的一组基

3.4.1 标准基

集合$\{\boldsymbol{e_1, e_2, e_3}\}$为$R^3$的标准基(standard basis). 更一般的，$R^n$的标准基为集合$\{\boldsymbol{e_1, e_2, \dotsc, e_n}\}$.

例如$R^{2\times 2}$的标准基为$\{E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}\}$. $E_{11} = [\begin{smallmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{smallmatrix}]$，$E_{12} = [\begin{smallmatrix} 0&1 \\ 0&0 \end{smallmatrix}]$，$E_{21} = [\begin{smallmatrix} 0&0 \\ 1&0 \end{smallmatrix}]$，$E_{22} = [\begin{smallmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{smallmatrix}]$.

$P_n$的标准基为$\{1, x, x^2, \dotsc, x^{n-1}\}$