5.7 正交多项式

5.7.1 正交序列

定义 若$p_0(x),\, p_1(x),\, \dotsc$为一多项式序列，且对每一个$i$有$\deg{p_i(x)} = i. 若当 i \neq j$时，$\langle p_i(x), p_j(x)\rangle = 0$，则$\{p_n(x)\}$称为正交多项式序列(sequence of orthogonal polynomials). 若$\langle p_i, p_j \rangle = \delta_{ij}$，则$\{p_n(x)\}$称为规范正交多项式序列(sequence of orthonormal polynomials)

定理 若$p_0, p_1, \dotsc$为一正交多项式序列，则

• $p_0, p_1, \dotsc, p_{n-1}$构成了$P_n$的一组基
• $p_n \in P_n^\bot$(即$p_n$和每一次数小于$n$的多项式正交)

定理 令$p_0, p_1, \dotsc$为一正交多项式序列，对每一个$i$，令$a_i$表示$p_i$的首系数，并定义$p_{-1}(x)$为零多项式，则 $$\alpha_{n+1}p_{n+1}(x) = (x - \beta_{n+1})p_n(x) - \alpha_n\gamma_np_{n-1}(x) \quad (n \geq 0)$$ 其中$\alpha_0 = \gamma_0 = 1$，且 $$\alpha_n = \frac{a_{n-1}}{a_n}, \quad \beta_n = \frac{\langle p_{n-1}, xp_{n-1}\rangle}{\langle p_{n-1}, p_{n-1}}, \quad \gamma_n = \frac{\langle p_n, p_n \rangle}{\langle p_{n-1}, p_{n-1}\rangle}\quad (n \geq 1)$$

5.7.2 经典正交多项式

勒让德多项式

勒让德多项式在内积 $$\langle p, q \rangle = \int_{-1}^1\,p(x)q(x)\mathrm{d}x$$ 意义下正交，令$P_n(x)$表示次数为$n$的勒让德多项式，若选择首系数，使得对每一个$n$有$P_n(1) = 1$，则勒让德多项式的递推公式为 $$(n + 1)P_{n+1}(x) = (2n + 1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)$$ 利用这个公式，我们很容易得到一个勒让德多项式的序列， $$\begin{align} P_0(x) &= 1 \\ P_1(x) &= x \\ P_2(x) &= \frac{1}{2}(3x^2 - 1) \\ P_3(x) &= \frac{1}{2}(5x^3 - 3x) \\ P_4(x) &= \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3) \end{align}$$ 切比雪夫多项式

切比雪夫多项式在内积 $$\langle p, q \rangle = \int_{-1}^1\,p(x)q(x)(1 - x^2)^{-1/2}\mathrm{d}x$$ 意义下正交，习惯上使用规范化的首系数，使得对$k = 1, 2, \dotsc$有$a_0 = 1$且$a_k = 2^{k-1}$，切比雪夫多莽同式记为$T_n(x)$，它有如下有趣的性质 $$T_n(\cos{\theta}) = \cos{n\theta}$$ 这个性质再加上三角恒等式 $$\cos{(n + 1)\theta} = 2\cos{\theta}\cos{n\theta} - \cos{(n - 1)\theta}$$ 可得到递推关系 $$\begin{align} T_1(x) &= xT_0(x) \\ T_{n + 1}(x) &= 2xT_n(x) - T_{n-1}(x), \quad n \geq 1 \end{align}$$ 雅可比多项式

勒让德多项式和切比雪夫多项式均为雅可比多项式的特例，雅可比多项式$P_n^{(\lambda, \mu)}$在内积 $$\langle p, q \rangle = \int_{-1}^1\,p(x)q(x)(1 - x)^{\lambda}(1 + x)^\mu\mathrm{d}x$$ 意义下正交，其中$\lambda, \mu \gt -1$

埃尔米特多项式

埃尔米特多项式定义在区间$(-\infty, \infty)$上，它们在内积 $$\langle p, q \rangle = \int_{-\infty}^\infty\,p(x)q(x)e^{-x^2}\mathrm{d}x$$ 意义下正交，埃尔米特多项式的递推关系为 $$H_{n+1} = 2xH_n(x) - 2nH_{n-1}(x)$$ 拉盖尔多项式

拉盖尔多项式定义在区间$(0, \infty)$上，且在内积 $$\langle p, q \rangle = \int_{0}^\infty\,p(x)q(x)x^\lambda e^{-x}\mathrm{d}x$$ 意义下正交，其中$\lambda \gt -1$，拉盖尔多项式的递推关系为 $$(n + 1)L_{n+1}^{(\lambda)}(x) = (2n + \lambda + 1 - x)L_{n}^{(\lambda)}(x) - (n + \lambda)L_{n-1}^{(\lambda)}(x)$$