2.2 行列式的性质

引理 令$A$为一$n\times n$矩阵，若$A_{jk}$表示$a_{jk}$的余子式，其中$k = 1, \dotsc, n$，则 $$a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \dotsb + a_{in}A_{jn} = \begin{cases} det(A) & \quad 当 i = j 时 \\ 0 & \quad 当 n \neq j 时 \\ \end{cases}$$

行运算I 交换$A$的两行

$$det(E_1A) = -det(A)$$

例如 $$E_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

行运算II $A$的某一行乘以一个非零常数 $$det(E_2A) = det(E_2)det(A)$$ 行运算III 某一行的倍数加到其他行 $$det(E_3A) = det(A) = det(E_3)det(A)$$

总结

若$E$为一初等矩阵，则 $$det(EA) = det(E)det(A)$$ 其中 $$det(E) = \begin{cases} -1 & \quad 当 E 为第I类初等矩阵 \\ \alpha \neq 0 & \quad 当 E 为第II类初等矩阵 时 \\ 1 & \quad 当 E 为第III类初等矩阵 时 \\ \end{cases}$$

定理 一个$n \times n$矩阵$A$是奇异的充要条件为 $$det(A) = 0$$ 定理 若$A$和$B$均为$n\times n$矩阵，则 $$det(AB) = det(A)det(B)$$