3.6 行空间和列空间

定义 如果$A$为一$m\times n$矩阵，由$A$的行向量张成的$R^{1\times n}$的子空间称为$A$的行空间(row space). 由$A$的各列张成的$R^m$的子空间称为$A$的列空间(column space).

定理 两个行等价的矩阵有相同的行空间.

定义 $A$的行空间的维数称为矩阵$A$的秩(rank)

3.6.1 线性方程组

定理 一个线性方程组$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$相容的充要条件是$\boldsymbol{b}$在$A$的列空间中.

定理 令$A$为一$m\times n$矩阵. 当且仅当$A$的列向量张成$R^m$时，对每一$\boldsymbol{b} \in R^m$，线性方程组$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$是相容的. 当且仅当$A$的列向量线性无关时，对每一$\boldsymbol{b} \in R^m$，方程组$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$至多有一个解.

推论 当且仅当一个$n\times n$矩阵$A$的列向量为$R^n$的一组基时，$A$是非奇异的.

一般地，矩阵的秩和其零空间的维数加起来等于矩阵的列数. 一个矩阵的零空间的维数称为矩阵的零度(nullity).

定理 若$A$为一$m\times n$矩阵，则$A$的秩与$A$的零度的和为$n$.

定理 若$A$为一$m\times n$矩阵，则$A$的行空间的维数等于$A$的列空间的维数.