1.2 行阶梯形

定义 若一个矩阵满足

• 每一非零行中的第一个非零元为1
• 第$k$行的元不全为零时，第$k+1$行首变量之前零的个数多于第$k$行首变量之前的零的个数
• 所有元素均为零的行必在不全为零的行之后

则称其为行阶梯矩阵(row echelon form).

定义 若一个线性方程组中方程的个数多于未知量的个数，则称其为超定的(overdetermined).

定义 若一个线性方程组中方程的个数少于未知量的个数，则称其为亚定的(underdeterminded).

定义 若一个矩阵满足

• 矩阵是行阶梯形的
• 每一行的第一个非零元是该列惟一的非零元

则称其为行最简形(reduced row echelon form).

定义 如果线性方程组的右端若项全为零，则称其为齐次的(homogeneous). 即$A\boldsymbol{x} = 0$的时候.

齐次方程组总是相容的，至少有一个平凡解$(0, 0, \dotsc, 0)$.

定理 若$n \gt m$，则$m \times n$的齐次方程组有非平凡解