5.2 正交子空间

定义 设$X$和$Y$为$R^n$的子空间，若对每一$\boldsymbol{x} \in X$及$\boldsymbol{y} \in Y$都有$\boldsymbol{x^Ty} = 0$，则称$X$和$Y$为正交的(orthogonal). 若$X$和$Y$是正交的，我们记为$X\bot Y$.

定义 令$Y$为$R^n$的子空间，$R^n$中所有与$Y$中的每一向量正交的向量集合记为$Y^\bot$. 因此 $$Y^\bot = \{\boldsymbol{x} \in R^n\mid \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{y} = 0，对每一个\boldsymbol{y} \in Y\}$$ 集合$Y^\bot$称为$Y$的正交补(orthogonal complement).

• 若$X$和$Y$为$R^n$中的正交子空间，则$X \cap Y = \{\boldsymbol{0}\}$
• 若$Y$为$R^n$的子空间，则$Y^\bot$也是$R^n$的子空间

5.2.1 基本子空间

令$A$为一$m\times n$的矩阵，一个向量$\boldsymbol{b} \in R^m$在$A$的列空间中的充要条件是对某$\boldsymbol{x} \in R^m$，有$\boldsymbol{b} = A\boldsymbol{x}$. 如果将$A$看成是将$R^n$映射为$R^m$的线性变换，则$A$的列空间和$A$的值域是相同的，我们记$A$的值域为$R(A)$.则 $$\begin{align*} R(A) &= \{\boldsymbol{b}\in R^m \mid \boldsymbol{b} = A\boldsymbol{x}，对某\boldsymbol{x} \in R^n \} \\ &= A 的列空间 \end{align*}$$ 定理 (基本子空间定理) 若$A$为一$m\times n$矩阵，则$N(A) = R(A^T)^\bot$, 且$N(A^T) = R(A)^\bot$.

定理 若$S$为$R^n$的一个子空间，则$dimS + dimS^\bot = n$. 此外，若$\{x_1, \dotsc, x_r\}$为$S$的一组基，且$\{x_{r+1}, \dotsc, x_n\}$为$S^\bot$的一组基，则$\{x_1, \dotsc, x_n\}$为$R^n$的一组基.

定义 若$U$和$V$为一个向量空间$W$的子空间，且每一个$\boldsymbol{w} \in W$可以惟一地写成一个和$\boldsymbol{u + v}$，其中$\boldsymbol{u} \in U$，且$\boldsymbol{v} \in V$，则我们称$W$为$U$与$V$的直和(direct sum)，并记为$W = U\oplus V$.

定理 若$S$为$R^n$的一个子空间，早 $$R^n = S\oplus S^\bot$$ 定理 若$S$为$R^n$的一个子空间，则$(S^\bot)^\bot = S$.

推论 若$A$为一$m\times n$矩阵，且$\boldsymbol{b} \in R^m$，则或者存在一个向量$\boldsymbol{x} \in R^n$使得$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$，或者存在一个向量$\boldsymbol{y} \in R^n$使得$A^T\boldsymbol{y} = 0$且$\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{b} \neq 0$.