3.2 子空间

定义 若$S$为向量空间$V$的非空子集，且$S$满足如下条件：

• 对任意标量$\alpha$，若$\boldsymbol{x} \in S$，则$\alpha\boldsymbol{x} \in S$
• 若$\boldsymbol{x} \in S$且$\boldsymbol{y} \in S$，则$\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} \in S$

则$S$称为$V$的子空间(subspace).

向量空间的任何子空间仍为向量空间.

3.2.1 矩阵的零空间

令$A$为一$m\times n$矩阵，令$N(A)$为所有齐次方程组$A\boldsymbol{x} = 0$的解的集合. 于是 $$N(A) = \{\boldsymbol{x} \in R^n \mid A\boldsymbol{x} = 0\}$$ 子空间$N(A)$ 称为$A$的零空间(nullspace).

3.2.2 向量集合的张成

定义 令$\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}$为向量空间$V$中的向量. $\alpha_1\boldsymbol{v_1} + \alpha_2\boldsymbol{v_2} + \dotsb + \alpha_n\boldsymbol{v_n}(其中\alpha_1, \alpha_2, \dotsc, \alpha_n为标量)$称为向量$\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}$的线性组合(linear combination). 向量$\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}$的所有线性组合构成的集合称为$\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}$的张成(span). 向量$\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}$的张成记为$Span(\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n})$.

定理 若$\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}$为向量空间$V$中的元素，则$Span(\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n})$为$V$的一个子空间

3.2.3 向量空间的张集

令$\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}$为向量空间$V$中的向量. 我们用$Span(\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n})$表示由向量$\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}$张成的$V$的子空间. 可能有$Span(\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}) = V$的情形，此时，我们说向量$\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}$张成$V$，或者$\{\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}\}$是$V$的一个张集(spanning set)

定义 $\{\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}\}$是$V$的一个张集(spanning set)的充要条件为$V$中的每个向量都可以写成$\{\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}\}$的一个线性组合.