1.5 初等矩阵

1.5.1 等价方程组

给定一$m \times n$线性方程组$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$，如果在两端同乘一个非奇异的$m \times n$矩阵$M$，得到它的一个等价方程组 $$MA\boldsymbol{x} = M\boldsymbol{b}$$ 我们可以将一系列的非奇异的矩阵$E_1, \dotsc, E_k$应用到方程组$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$，的两端，从而得到一个较为简单的方程组 $$U\boldsymbol{x} = \boldsymbol{c}$$ 其中$U = E_k\dotsm E_1A$，且$\boldsymbol{c} = E_k \dotsm E_1\boldsymbol{b}$.

1.5.2 初等矩阵

类型I

第I类初等矩阵交换矩阵$I$的两行得到

例如 $$E_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

类型II

**第II类初等矩阵由单位矩阵$I$的某一行乘以一个非零常数得到

例如 $$E_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$

类型III

**第III类初等矩阵由单位矩阵$I$的某一行的倍数加到另一行得到

例如 $$E_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

定理 1.5.2.1 若$E$为一初等矩阵，则$E$是非奇异的，且$E^{-1}$为一与它同类型的初等矩阵.

定义 若存在一个有限初等矩阵的序列$E_1, E_2, \dotsc, E_k$，使得 $$B = E_kE_{k-1}\dotsm E_1A$$ 则称$A$与$B$为行等价的(row equivalent).

定理 1.5.2.2 令$A$为一$n \times n$矩阵，则下列命题是等价的

• $A$是非奇异的
• $A\boldsymbol{x} = 0$公有平凡解0
• $A$与$I$等价

推论 1.5.2.3 当且仅当$A$非奇异时，$n$个未知量$n$个方程的线性方程组$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$有惟一解.

1.5.3 对角矩阵和三角形矩阵

一个$n \times n$矩阵$A$，当$i \gt j$时，$a_{ij} = 0$，则称为上三角形的(upper triangular); 当$i \lt j$时，$a_{ij} = 0$，则称为下三角形的(lower triangular); 统称为三角形的(triangular)；如果当$i \neq j$时，$a_{ij} = 0$，则称为对角的(diagonal).

1.5.4 三角形分解

如果矩阵$L$为对角元素为1的下三角形矩阵，我们称$L$为单位下三角形矩阵(unit lower triangular). 将矩阵$A$分解为一个单位下三角形矩阵和一个严格上三角形矩阵$U$的乘积的过程，通常称为$LU$分解($LU$ factorization).