4.2 线性变换的矩阵表示

定理 若$L$为一从$R^n$到$R^m$的线性变换，则存在一个$m\times n$矩阵$A$，使得对每一个$\boldsymbol{x} \in R^n$，有 $$L(\boldsymbol{x}) = A\boldsymbol{x}$$ 事实上，$A$的第$j$个列向量为 $$\boldsymbol{a_j} = L(\boldsymbol{e_j})\quad j = 1, 2,\dotsc,n$$ 定理 若$E = [\boldsymbol{v_1, v_2, \dotsc, v_n}]$和$F = [\boldsymbol{w_1, w_2, \dotsc, w_m}]$分别为向量空间$V$和$W$的有序基，则对每一线性变换$L: V \to W$，存在一个$m\times n$矩阵$A$，使得对每一个$\boldsymbol{v} \in V$，有 $$[L(\boldsymbol{v})]_F = A[\boldsymbol{v}]_E$$ $A$称为$L$收到应于有序基$E$和$F$的表示矩阵，事实上 $$\boldsymbol{a_j} = [L(\boldsymbol{v_j})]_F，\quad j = 1, 2, \dotsc, n$$ 定理 令$E = [\boldsymbol{u_1, \dotsc, u_n}]$及$F = [\boldsymbol{b_1, \dotsc, b_m}]$分别为$R^n$和$R^m$的有序基. 若$L: R^n \to R^m$为一线性变换，且$A$为$L$相应于$E$和$F$的表示矩阵，则 $$\boldsymbol{a_j} = B^{-1}L(\boldsymbol{u_j}), \quad j = 1, \dotsc, n$$ 其中$B = (\boldsymbol{b_1, \dotsc, b_m})$.

推论 若$A$为线性变换$L: R^n \to R^m$相应于基 $$E = [\boldsymbol{u_1, \dotsc, u_n}]\quad 和 \quad F = [\boldsymbol{b_1, \dotsc, b_m}]$$ 的表示矩阵，则$(\boldsymbol{b_1, \dotsc, b_m} \mid L(\boldsymbol{u_1}), \dotsc, L(\boldsymbol{u_n}))$的行最简形为$(I\mid A)$.

4.2.1 齐次坐标

齐次坐标系(homogeneous coordinate system)是通过将$R^2$中的向量等同于$R^3$中和该向量前两个坐标相同，而第三个坐标为1的向量来构造的. $$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \leftrightarrow \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

例如 $$\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$