4.1 定义

定义 一个将向量空间$V$映射到向量空间$W$的映射$L$，如果对所有$\boldsymbol{v_1, v_2} \in V$及所有的标量$\alpha$和$\beta$， $$L(\alpha\boldsymbol{v_1} + \beta\boldsymbol{v_2}) = \alpha L(\boldsymbol{v_1}) + \beta L(\boldsymbol{v_2})$$ 则称其实为线性变换(linear transformation). 记为$L:V \to W$

如果向量空间$V$和$W$是相同的，我们称线性变换$L: V \to V$为$V$上的线性算子(linear operator).

4.1.1 从$R^n$到$R^m$的线性变换

一般地，如果$A$为任何$m\times n$矩阵，我们可定义一个从$R^n$到$R^m$的线性变换$L_A$，对于每一个$\boldsymbol{x} \in R^n$ $$L_A(\boldsymbol{x}) = A\boldsymbol{x}$$

4.1.2 从$V$到$W$的线性变换

若$L$为一从向量空间$V$到$W$的线性变换，则

• $L(\boldsymbol{0_v}) = \boldsymbol{0_w}$

• 若$\boldsymbol{v_1, \dotsc, v_n}$为$V$的元素，且$\alpha_1, \dotsc, \alpha_n$为标题，则
  $$L(\alpha_1\boldsymbol{v_1} + \alpha_2\boldsymbol{v_2} + \dotsb + \alpha_n\boldsymbol{v_n}) = \alpha_1L(\boldsymbol{v_1}) + \alpha_2L(\boldsymbol{v_2}) + \dotsb + \alpha_nL(\boldsymbol{v_n})$$

• 对所有的$\boldsymbol{v} \in V$，有$L(-\boldsymbol{v}) = -L(\boldsymbol{v})$

4.1.3 象与核

定义 令$L: V \to W$为一线性变换，$L$的核(kernel)记为$ker(L)$，定义为 $$ker(L) = \{\boldsymbol{v} \in V \mid L(\boldsymbol{v}) = \boldsymbol(0_w)\}$$ 定义 令$L: V \to W$为一线性变换，并令$S$为$V$的一个子空间. $S$的象(image)记为$L(S)$，定义为 $$L(S) = \{\boldsymbol{w} \in W \mid \boldsymbol{w} = L(\boldsymbol{v})，对某个 \boldsymbol{v} \in S\}$$ 整个向量空间的象$L(V)$称为$L$的值域(range).

定理 若$L: V \to W$为一线性变换，且$S$为$V$的子空间，则

• $ker(L)$为$V$的一个子空间
• $L(S)$为$W$的一个子空间