5.1 $R^n$中的标量积

定义 乘积$\pmb{x}^T\pmb{y}$称为$\pmb{x}$和$\pmb{y}$的标量积(scalar product)

5.1.1 $R^n$中的正交性

定理 若$\pmb{x}$和$\pmb{y}$为$R^2$或$R^3$中的两个非零向量，且$\theta$为它们的夹角，则 $$\pmb{x}^T\pmb{y} = \|\pmb{x}\| \|\pmb{y}\| cos\theta$$ 推论 (柯西-施瓦茨不等式) 若$\pmb{x}$和$\pmb{y}$为$R^2$或$R^3$中的向量，则 $$|\pmb{x}^T\pmb{y}| \leq \|\pmb{x}\| \|\pmb{y}\|$$ 当且仅当其中一个向量为$\pmb{0}$，或一个向量为另一个向量的倍数时，等号成立.

若$\pmb{x}^T\pmb{y} = 0$，则$R^2（或者R^3)$中的向量$\pmb{x}$和$\pmb{y}$称为正交的(orthogonal).

定义 标量$\alpha$满足 $$\alpha = \|\pmb{x}\| cos\theta = \frac{\|\pmb{x}\| \|\pmb{y}\| cos\theta}{\|\pmb{y}\|} = \frac{\pmb{x}^T\pmb{y}}{\|\pmb{y}\|}$$ 标量$\alpha$称为$\pmb{x}$到$\pmb{y}$的标量投影(scalar projection)，且向量$\pmb{p}$称为$\pmb{x}$到$\pmb{y}$的向量投影(vector projection)，其中$\pmb{p} = \alpha \pmb{u}$，$\pmb{u}$为$\pmb{y}$方向上的单位向量(长度为1).

$\pmb{x}$到$\pmb{y}$的标量投影： $$\alpha = \frac{\pmb{x}^T\pmb{y}}{\|\pmb{y}\|}$$ $\pmb{x}$到$\pmb{y}$的向量投影： $$\pmb{p} = \alpha\pmb{u} = \alpha\frac{1}{\|\pmb{y}\|}\pmb{y} = \frac{\pmb{x}^T\pmb{y}}{\pmb{y}^T\pmb{y}}\pmb{y}$$

若$\pmb{x} \in R^n$，则$\pmb{x}$的欧几里得长度定义为 $$\|\pmb{x}\| = (\pmb{x}^T\pmb{x})^{1/2}$$ 若$\pmb{x}$和$\pmb{y}$为$R^n$中的两个向量，则向量之间的距离为$\|\pmb{y} - \pmb{x}\|$. 对$R^n$中的任何非零向量$\pmb{x}$和$\pmb{y}$，有 $$-1 \leq \frac{\pmb{x}^T\pmb{y}}{\|\pmb{x}\| \|\pmb{y}\|} \leq 1$$ 因此两个$R^n$中的向量$\pmb{x}$和$\pmb{y}$的夹角$\theta$定义为 $$cos\theta = \frac{\pmb{x}^T\pmb{y}}{\|\pmb{x}\| \|\pmb{y}\|}, \quad 0 \leq \theta \leq \pi$$ 通常，为了方便，使用单位向量比较简便，如果令 $$\pmb{u} = \frac{1}{\|\pmb{x}\|}\pmb{x} \quad 且 \quad \pmb{v} = \frac{1}{\|\pmb{y}\|}\pmb{y}$$ 则 $$cos\theta = \pmb{u}^T\pmb{v}$$ 若$\pmb{x}^T\pmb{y} = 0$，则向量$\pmb{x}$和$\pmb{y}$称为正交的(orthogonal). 记为$\pmb{x}\bot\pmb{y}$.

若$\pmb{x}$和$\pmb{y}$为$R^n$中的向量，早 $$\|\pmb{x} + \pmb{y}\| = (\pmb{x} + \pmb{y})^T(\pmb{x} + \pmb{y}) = \|\pmb{x}\|^2 + 2\pmb{x}^T\pmb{y} + \|\pmb{y}\|^2$$ 当$\pmb{x}$和$\pmb{y}$正交时，方程称为毕达哥拉斯定律(Pythagorean Law). $$\|\pmb{x} + \pmb{y}\|^2 = \|\pmb{x}\|^2 + \|\pmb{y}\|^2$$